Računarska grafika

Simulacija

Pojmovi

Sistem:

• Skup (matematičkih) objekata čije ponašanje simuliramo.

Model:

• Pravila po kojima se sistem menja, i početno stanje sistema.

Izgled:

• Karakteristike objekata iz sistema u datom trenutku.
• Objektivna stvarnost koju želimo izračunati simulacijom.

Stanje:

• Predstavlja internu reprezentaciju sistema unutar nekog načina simulacije.
• Definisano samo u kontekstu konkretnog načina simulacije.
• Odgovara izgledu nekog objekta u određenom vremenskom intervalu

Primer procesa: Loptica skočica

BouncyBalls

Osnovne jednačine kretanja (ako nema odskakanja od poda):

$t_Δ = t' - t$
$p' = p + v t_Δ + \frac{1}{2} g t_Δ^2$
$v' = v + g t_Δ$

Analitičko rešenje

• Izgled sistema u proizvoljnom trenutku dobijamo preko formule.
• Cela simulacija je predstavljena jednim stanjem.

Veoma efikasno.
Veoma precizna simulacija (do na model).
Vrlo retko izvodljivo.

Prikaz na primeru

Brzina po $x$ je konstantna:
$p'_x = p_x + v_x t_Δ \qquad v'_x = v_x$

Premeštamo se na pod:
$t_0 = t + {t_Δ}_0$
$p_y + v_y {t_Δ}_0 + \frac{1}{2} g {t_Δ}_0^2 = 0$
${t_Δ}_0 = \left(-v_y + \sqrt{v_y^2 - 2 g_y p_y}\right) / g_y$

Odskakanje je periodično:
$t_{period} = -2 {v_0}_y / g_y$
$t_Δ = (t'-t_0) \mod t_{period}$
$p'_y = {p_0}_y + {v_0}_y t_Δ + \frac{1}{2} g_y t_Δ^2$

Ball_Formula

Simulacija bazirana na događajima (event-based)

• Imamo događaje koji menjaju stanja.
• Unutar jednog stanja izgled računamo po jednostavnoj formuli.
• U petlji: Tražimo sledeći događaj. Menjamo stanja objekata koji učestvuju u njemu.

Efikasno.
Precizna simulacija.
Izgled u budućem trenutku možemo dobiti brzo (proporcionalno broju događaja).
Ne možemo se vraćati u vreme pre prethodnog događaja.
Retko izvodljivo.

Prikaz na primeru

Događaj: odskakanje od poda.
Stanje: period između dva odskakanja.

• Stanje predstavljeno trojkom $(t, p, v)$ označava da je loptica na početku tog stanja, u trenutku $t$, na podu u tački $p$ ($p_y=0$) i ima brzinu $v$ na gore ($v_y > 0$).
• Za svaku lopticu računamo sledeći događaj, tj. kada će biti ponovo na podu.
• Realizujemo događaje redom po vremenu dešavanja.
• Realizacija događaja: Premeštamo lopticu u trenutak događaja (kada je ponovo na podu) i obrćemo menjamo $y$ komponentu brzine.

Ball_Events

Simulacija bazirana na otkucajima (tick-based)

• Otkucaji (tick-ovi) se dešavaju često (stotinama ili hiljadama puta u sekundi), ali ravnomerno, sa jednakim vremenskim intervalom između otkucaja.
• Stanje se menja na svaki otkucaj.
• U svakom otkucaju ažuriramo stanja svih objekata.

Najmanje efikasno.
Simulacija nije precizna (dolazi do odstupanja u odnosu na model).
Nije moguće vraćati se u nazad kroz vreme*.
Uglavnom je jedini mogući način simulacije.

Prikaz na primeru

• Stanje predstavljeno trojkom $(t, p, v)$ označava da je poslednji otkucaj bio u trenutku $t$, i tada je loptica imala položaj $p$ i brzinu $v$.

• $t_{tick}$ je dužina vremenskog intervala između dva otkucaja.

• Ažuriranje stanja se dešava prilikom svakog otkucaja, kada pomeramo vreme za $t_{tick}$ i računamo novi položaj i brzinu prema formuli za kretanje.

Ball_Ticks

Poređenje različitih metoda simulacije

	Formula	Events	Ticks
Brzina
Preciznost
Premotavanje u napred
Premotavanje u nazad
Izvodljivost

Real-time simulacija

Vreme unutar simulacije odgovara stvarnom vremenu.

• Omogućava ubacivanje događaja iz stvarnog sveta (npr. akcije igrača).
• U svakom frejmu prikazujemo izgled sistema dokle je stigla simulacija.

Kod event-based i tick-based simulacije, pre iscrtavanja moramo da "doguramo" aktuelno stanje da obuhvati trenutak iscrtavanja.

Najčešća početnička greška: Vezivanje tick-ova za frejmove.

Nije dobro!

• Ako je $t_{tick}$ fiksno, onda brzina simulacije zavisi od frame-rate-a.
• Ako se za $t_{tick}$ koristi vreme proteklo između dva frejma, onda rezultat simulacije nije konzistentan.

Uvek treba da želimo determinističku simulaciju (da isti ulazni parametri uvek daju isti rezultat)! Kada želimo "nasumično" ponašanje, najbolje je koristiti generator pseudoslučajnih brojeva sa unapred zadatim seed-om.